Hvorfor reagerer nogle forbrugere skarpt på prisændringer, mens andre nærmest er urokkelige? Når du stiller dig selv dét spørgsmål, står du allerede med nøglen til at forstå to af forbrugerteoriens mest centrale begreber: Marshalliansk og Hicksiansk efterspørgsel. De lyder måske som tørre lærebogsord, men bag navnene gemmer sig en logik, der afslører, hvordan og hvorfor vores efterspørgsel bevæger sig, når markedet ryster posen.
Forestil dig, at din yndlingskaffe pludselig bliver dyrere. Spørgsmålet er nu: Skærer du ned på kaffen, eller skærer du ned på noget andet for at beholde den daglige dosis? Marshall og Hicks giver hvert sit svar – og de to svar er kernen i alt fra velfærdsmåling til antitrust-sager og skattemodeller.
I denne artikel skruer vi luppen på forskellene: fra de to duale optimeringsproblemer, over Slutsky-dekomponeringen, til hands-on eksempler, der viser, hvornår du bør række ud efter den ene eller den anden værktøjskasse. Kort sagt: Lær at skelne mellem den efterspørgsel, der holder indkomsten fast, og den, der holder nytten fast – og forstå, hvorfor det valg kan vende konklusionen på din næste økonomiske analyse.
Definitioner og intuition
De to efterspørgselsbegreber udspringer af samme forbrugerpræferencer, men de besvarer to forskellige spørgsmål:
| Spørgsmålet | Hvad holdes fast? | Løsningen giver |
|---|---|---|
| Marshalliansk efterspørgsel (u-maksimering) |
Indkomst m og priser p | Det reelle forbrug (mængder) for en husholdning, der bruger hele sin indkomst optimalt |
| Hicksiansk efterspørgsel (udgiftsminimering) |
Nytteniveau ū og priser p | Det billigst mulige forbrug, der præcis opnår nytten ū |
1. Marshalliansk efterspørgsel: Forbrugerens “hvad har jeg råd til?”
Forestil dig, at en forbruger ser prisvektoren p og kender sin disponible indkomst m. Hun løser:
maxx u(x) s.t. p·x ≤ m
Løsningen – typisk noteret xM(p,m) – er den Marshallianske eller u-kompenserede efterspørgsel. “U-kompenseret” betyder, at forbrugeren ikke kompenseres, når priserne ændrer sig; indkomsten er låst fast til m. Dermed afspejler Marshalliansk efterspørgsel både:
- Substitutionseffekten: vi bytter fra dyre til billige varer.
- Indkomsteffekten: en prisstigning reducerer den reale købekraft, fordi indkomsten er fast.
Resultatet er den efterspørgselsfunktion, der oftest estimeres empirisk, fordi vi observerer husholdningers faktiske budgetter.
2. Hicksiansk efterspørgsel: Forbrugerens “hvordan holder jeg nytten oppe billigst muligt?”
Tænk nu det omvendte scenarie: Forbrugeren ønsker et bestemt tilfredsstillelsesniveau ū og spørger, hvad det mindst mulige udgiftsniveau er ved de givne priser p. Hun løser:
minx p·x s.t. u(x) ≥ ū
Løsningen kaldes xH(p,ū) – den Hicksianske eller kompenserede efterspørgsel, fordi vi i princippet kompenserer forbrugeren med præcis det beløb, der sikrer uændret nytte, når priserne varierer. Det betyder:
- Indkomsteffekten elimineres – den reale købekraft er altid “genoprettet”.
- Kun substitutionseffekten står tilbage, så xH bevæger sig altid mod billigere varer, når prisen på en vare stiger.
3. Intuitiv sammenfatning
Når prisen på ét gode stiger:
- Marshalliansk efterspørgsel falder af to grunde: varen bliver dyrere (substitution), og forbrugeren føler sig fattigere (indkomst).
- Hicksiansk efterspørgsel falder kun pga. substitution; vi “giver” forbrugeren nok ekstra penge til at fjerne fattigdomsfølelsen.
Dermed besvarer de to funktioner to centrale, men forskellige, økonomiske spørgsmål:
- “Hvor meget vil forbrugerne faktisk købe til givne priser og indkomst?”
– Brug Marshalliansk. - “Hvilket forbrugsmønster viser ren substitutionsrespons på en prisændring?”
– Brug Hicksiansk.
I de næste afsnit dykker vi ned i den formelle teori bag de to optimeringsproblemer og viser, hvordan de hænger sammen gennem udgifts- og nyttefunktioner.
Teoretisk fundament: to duale optimeringsproblemer
Forbrugerteorien bygger på to gensidigt duale optimeringsproblemer, der hver især giver os en efterspørgselsfunktion. Pointen er, at man enten kan spørge: »Hvad er den højeste nytte, jeg kan opnå for en given indkomst?« eller: »Hvad er den laveste udgift, jeg kan nøjes med for at nå et givent nytteniveau?«. De to spørgsmål fører til hhv. den Marshallianske og den Hicksianske efterspørgsel.
- Nyttemaksimering under budgetbegrænsning
Maksimer u(x) givet p·x ≤ m.
Løsningen kaldes den Marshallianske efterspørgsel xM(p,m). - Udgiftsminimering for et givet nytteniveau
Minimér p·x givet u(x) ≥ ū.
Løsningen er den Hicksianske (kompenserede) efterspørgsel xH(p,ū).
| Funktion | Symbol | Problemet den kommer fra | Holder fast på |
|---|---|---|---|
| Indirekte nytte | v(p,m) | Nyttemaksimering | Indkomst m |
| Udgiftsfunktion | e(p,ū) | Udgiftsminimering | Nytteniveau ū |
At de to problemer er duale ses af, at de »omvendt« kan genfinde hinanden:
- e(p, v(p,m)) = m – den udgift, man behøver for den nytte man faktisk opnår med indkomsten, er netop indkomsten.
- v(p, e(p,ū)) = ū – bruger man den mindst mulige udgift på at nå ū, får man præcis dette nytteniveau.
Dualiteten giver to centrale resultater, der konverterer information fra funktionerne til konkrete efterspørgsler:
- Shephards lemma
Afled udgiftsfunktionen efter en pris: ∂e(p,ū)/∂pi = xiH(p,ū).
Altså: den kompenserede efterspørgsel fås direkte fra hældningen på udgiftsfunktionen. - Roy’s identitet
Marshalliansk efterspørgsel kan udledes af den indirekte nytte:
xiM(p,m) = – (∂v/∂pi) / (∂v/∂m).
›Prisdelen‹ af nyttefunktionen divideret med ›indkomstdelen‹ giver altså den ukompenserede efterspørgsel.
Dualiteten betyder, at man frit kan vælge den matematik, der er lettest i den konkrete analyse – resultaterne er to sider af samme sag. Hicksiansk efterspørgsel er især nyttig, når man vil isolere rene substitutionseffekter, mens Marshalliansk efterspørgsel er uundværlig, når man vil beskrive det faktiske, observerbare købsmønster givet folkets pengepung.
Substitutions- og indkomsteffekter: Slutsky som bro
Når en pris ændrer sig, kan forbrugerens efterspørgsel reagere af to helt forskellige grunde:
- Substitutionseffekten – vi holder nytten konstant og spørger: Hvordan vil forbrugeren omfordele sit forbrug, blot fordi relative priser har ændret sig?
- Indkomsteffekten – prisfaldet (eller -stigningen) ændrer den “reelle” købekraft, hvilket i sig selv skubber efterspørgslen.
Med Slutsky-dekompositionen skrives den samlede (Marshallianske) priseffekt på vare i ved en ændring i prisen på vare j som
d x_i / d p_j = ∂ h_i / ∂ p_j − x_j · ∂ x_i / ∂ I
- xi er Marshalliansk efterspørgsel
- hi er Hicksiansk (kompenseret) efterspørgsel
- I er indkomst
Første led er substitutionseffekten (Hicksiansk), andet led er indkomsteffekten.
Hvorfor hicksiansk efterspørgsel isolerer substitutionseffekten
Den Hicksianske efterspørgsel svarer til løsningen på et udgiftsminimeringsproblem, hvor nytteniveauet holdes fast (utility constant). Derfor indeholder den ingen indkomsteffekt: alt hvad vi ser, er ren substitution imellem varer pga. ændrede relative priser.
Centrale egenskaber
| Egenskab | Hicksiansk efterspørgsel (h) | Marshalliansk efterspørgsel (x) |
|---|---|---|
| Hældning mht. egen pris | Altid faldene (∂hi/∂pi < 0) Substitution dominerer |
Kan være stigende for Giffen-varer, da indkomsteffekten kan vende tegnet |
| Homogenitet | Homogen af grad nul i priser (p) | Homogen af grad nul i (p, I) |
| Symmetri | Slutsky-matrixen er symmetrisk: ∂hi/∂pj = ∂hj/∂pi |
Ingen generel symmetri |
| Pris-elasticiteter | Kompenserede elasticiteter: εcij < 0 for i = j |
Ukompenserede elasticiteter: kan have vilkårligt fortegn |
Intuition i én sætning
Hicksiansk efterspørgsel er “laboratoriet” hvor vi eksperimentalt fjerner indkomsteffekten og ser den rene substitutionsrespons; Marshalliansk efterspørgsel er den faktiske markedsobservérbare respons, hvor begge effekter blandes.
Praktisk tommelfingerregel
- Analytikeren, der vil forstå rene effekt af en skat eller told, starter med Hicksiansk efterspørgsel.
- Økonomen, der estimerer forbrugsmønstre på data, får først Marshalliansk efterspørgsel og kan derefter bruge Slutsky-ligningen til at udlede de kompenserede effekter.
Dermed bliver Slutsky-dekompositionen den afgørende bro mellem teori og observation: Den viser præcis, hvordan vi kan gå fra den rene substitution i modellen til den samlede effekt, som vi ser i den virkelige verden.
Anvendelser, eksempler og hvornår man bruger hvad
Hvordan ser de to typer efterspørgsel egentlig ud, når vi tager et konkret eksempel, og hvornår vælger man den ene frem for den anden i analyser?
1. Et konkret eksempel: Cobb-douglas-forbrugeren
Antag en forbruger med nyttefunktionen U(x1,x2) = x10,5x20,5, indkomst m og priser p1, p2.
| Marshalliansk efterspørgsel (ukompenseret) |
Hicksiansk efterspørgsel (kompenseret) |
|
|---|---|---|
| Løsningsproblem | max U(x) s.t. p·x ≤ m | min p·x s.t. U(x) ≥ Ū |
| Løsning | x1M=½·m/p1 x2M=½·m/p2 |
x1H=½·E(Ū,p)/p1 x2H=½·E(Ū,p)/p2 hvor E(Ū,p)=2√{Ū}√{p1p2} |
| Afhængighed | Priser og indkomst | Kun priser (Ū er fastlagt) |
Numerisk illustration: Sæt m = 100, p1 = 1, p2 = 2.
- Før prisændring: x1M=25, x2M=25.
- Hæv prisen på vare 1 til 1,50.
– Marshalliansk: x1M=100/(2·1,5)=33,3 → falder altså ikke monotont med prisen pga. indkomsteffekt (her stiger!)
– Hicksian: hold Ū konstant (=50). Udregn E=2·√50·√(1,5·2)=43,7. Dermed x1H=43,7/(2·1,5)=14,6 → faldet skyldes ren substitutionseffekt.
Eksemplet viser: Hicksiansk efterspørgsel fanger det rene substitutionsskift, mens Marshalliansk også rummer indkomsteffekten.
2. Velfærdsanalyse: Cv/ev kontra forbrugeroverskud
- Kompenseret variation (CV) og ækvivalent variation (EV) måler, hvor meget indkomst der skal henholdsvis tilføres eller fjernes for at holde forbrugeren på samme nytteniveau efter en prisændring. Beregningen sker direkte via udgiftsfunktionen – dvs. ved brug af den Hicksianske efterspørgsel.
- Forbrugeroverskud (området under Marshalliansk efterspørgsel og over prisen) er lettere at øjenmåle, men blander substitution og indkomsteffekt og giver derfor kun et præcist mål under særlige antagelser (eksempelvis kvasi-lineær nytte).
- Når Finansministeriet vil beregne dødvægtstab af nye afgifter, er det CV/EV – og dermed Hicksiansk efterspørgsel – der giver grundlaget.
3. Politisk brug og praktiske analyser
- Skatte- og afgiftsreformer:
– CV/EV baseret på Hicksiansk efterspørgsel vurderer tab/gevinst for hvert indkomstsegment.
– Efterfølgende fordelingsanalyser kan inddrage hvordan Marshallianske mængder – og dermed statens provenue – ændrer sig. - Empirisk estimering:
– Data fra husholdningsbudgetter giver primært Marshalliansk efterspørgsel (faktiske køb).
– Ved at kombinere estimater med Slutsky-dekomponering kan man bagefter udlede Hicksian substitution til brug i velfærdsberegninger. - Markedssimuleringer og konkurrenceanalyser:
– Virksomheder er ofte interesserede i Marshalliansk pris-elasticitet (forudser omsætning).
– Reguleringsmyndigheder, der skal vurdere velfærden ved fusioner, anvender derimod Hicksianske mål for at isolere rene substitutionseffekter.
4. Tommelfingerregler for valg af efterspørgselsbegreb
- Vil du forudsige mængder, omsætning eller skatteprovenu? → Brug Marshalliansk.
- Vil du måle velfærd (tab/gevinst) eller designe kompenserende politik? → Brug Hicksiansk.
- Har du kun observerede forbrugstal? → Estimér Marshalliansk først og konverter via Slutsky.
Ved at holde styr på, hvad der holdes fast (indkomst eller nytte), undgår man forvirring og vælger den rette efterspørgsel til formålet – hvad enten det er avancerede velfærdsstudier eller en hurtig prognose for næste kvartals salg.
