Hvad er Slutsky-dekompositionen, og hvordan bruges den?

Hvorfor vælger vi pludselig billigere mærker, når kaffen stiger i pris – og hvorfor kan den samme prisstigning få os til at købe endnu mere af et helt andet produkt? Hvis du nogensinde har undret dig over, hvordan økonomer splitter sådan en adfærd op i logiske brikker, står svaret skrevet med ét navn: Slutsky.

På Kapitalisme Online – din indgang til alt om økonomi dykker vi i dag ned i den berømte Slutsky-dekomposition, et værktøj der gør det muligt at adskille en prisændrings to “skjulte” kræfter: substitutionseffekten og indkomsteffekten. Med andre ord: den del af din reaktion, der handler om at bytte om på varer, fordi relative priser ændrer sig – og den del, der handler om, at din reelle købekraft krymper eller svulmer.

I løbet af artiklen guider vi dig fra den intuitive hverdagseksempel, over grafikken med budgetlinjer og indifferenskurver, til den elegante ligning, der får matematikere til at nikke anerkendende. Vi afmystificerer forskellen på Hicks- og Slutsky-kompensation, viser hvorfor Giffen-varer stadig driller lærebøgerne – og afslutter med, hvordan politikere, konsulenter og analytikere bruger netop denne dekomposition til at forudsige adfærd i virkelighedens markeder.

Så spænd sikkerhedsbæltet: Om få minutter vil du kunne sætte ord (og formler) på, hvorfor dine indkøbsvaner skifter, når priserne gør. Læn dig tilbage, og lad Kapitalisme Online tage dig med ind i Slutskys fascinerende verden.

Hvad er Slutsky-dekompositionen? (Definition og formål)

Når økonomer analyserer, hvordan en prisændring påvirker en forbrugers efterspørgsel efter en vare, er det sjældent tilstrækkeligt blot at se på den samlede mængdeændring. Det, som i første omgang ligner én enkelt reaktion, består faktisk af to adskilte mekanismer – og netop disse adskiller Slutsky-dekompositionen på elegant vis:

1. Substitutionseffekten: Forbrugeren reagerer på, at den relative pris mellem varer ændrer sig, og omfordeler sit forbrug hen imod den relativt billigere vare.
2. Indkomsteffekten: Prisændringen ændrer reelt forbrugerens købekraft. Når en vare bliver billigere (dyrere), føles det som en stigning (fald) i den disponible realindkomst, hvilket i sig selv påvirker mængden, der efterspørges.

Slutsky-dekompositionen kommer således fra mikroøkonomisk forbrugerteori, hvor man antager, at forbrugeren maksimerer sin nytte givet et budget. Ved at adskille de to effekter kan vi:

• bestemme, hvor stor en del af en observeret mængdeændring der skyldes ren prissubstitution, og hvor meget der skyldes ændret realindkomst,
• forudsige, hvordan forskellige varetyper (normale, inferiøre, Giffen) vil reagere på prisindgreb,
• evaluere fordelingseffekter og velfærdstab ved skatter, subsidier og regulering.

Metoden er navngivet efter den russiske matematiske økonom Eugen Slutsky, der i 1915 formulerede den algebraiske opdeling. Dekompositionen blev senere udbredt af Hicks, Samuelson og mange andre og udgør i dag et kernestykke af enhver mikroøkonomisk værktøjskasse. Fordi den knytter beobservationer (ukompenseret efterspørgsel) sammen med teori (kompenseret nytte­maksimering), giver Slutsky-dekompositionen os et praktisk brohoved mellem data og adfærdsforklaring. Det gør den uundværlig, når vi vil forstå – og påvirke – forbrugernes reaktioner på prisændringer.

Intuitionen: Substitutionseffekt vs. indkomsteffekt

Når vi taler om Slutsky-dekompositionen, deles effekten af en prisændring i to koncepter, der er lette at forstå intuitivt:

1. Substitutionseffekten – ændrede relative priser får forbrugeren til at bytte sig væk fra den relativt dyrere vare og hen mod den billigere, mens nytten holdes konstant.
2. Indkomsteffekten – prisændringen ændrer forbrugerens reelle købekraft (man kan købe mere eller mindre for samme indkomst), hvilket påvirker forbruget af alle varer afhængigt af deres indkomstfølsomhed.

Substitutionseffekten er altid entydig: Falder prisen på vare X, stiger den kompenserede (Hicks eller Slutsky) efterspørgsel efter X, fordi den nu er relativt billigere. Den ukompenserede, observerbare efterspørgsel kan dog gå begge veje, fordi indkomsteffekten lægges oveni.

Tegnene på effekterne – Et hurtigt overblik

Varetype	Pris ↓ (Substitution)	Pris ↓ (Indkomst)	Samlet effekt
Normal vare	Efterspørgsel ↑	Efterspørgsel ↑	Altid ↑ (effekterne forstærker hinanden)
Inferiør vare	Efterspørgsel ↑	Efterspørgsel ↓	Ambivalent: netto afhænger af styrkeforholdet
Giffen-vare (ekstrem inferiør)	Efterspørgsel ↑	Efterspørgsel ↓↓	Kan blive ↓ (indkomsteffekt dominerer)

Hvorfor kan effekterne trække i modsatte retninger?

Forestil dig, at kartofler er en vigtig (inferiør) basisvare i en fattig husholdning. Når prisen falder:

• Substitution: Kartofler er billigere relativt til ris og pasta, så husholdningen lægger flere kartofler i indkøbskurven.
• Indkomst: Billigere kartofler frigør budget, svarende til en stigning i reel indkomst. Da kartofler er inferiøre, vælger husholdningen at erstatte nogle kartofler med “finere” varer. Det presser kartoffel­forbruget ned.

Nettoeffekten (den vi ser i data) er summen: ΔQX = substitution + indkomst. Hos normale varer virker begge effekter i samme retning, så vi får den klassiske, nedad­ad­slående efterspørgselskurve. Hos inferiøre varer udkæmper effekterne et arm­bryd­ning, og kun hvis indkomsteffekten er stærk nok, kan vi observere en Giffen-situation.

Styrkeforholdet mellem effekterne

Hvor stort “armbrydningen” bliver, afhænger af:

• Budsjettets sammensætning: Jo større andel en vare udgør af budgettet, desto kraftigere indkomsteffekt ved en given procentvis prisændring.
• Substitutions­elasticitet: Hvor let kan varen erstattes af andre? Høj substitutionsevne forstærker substitutionseffekten.
• Indkomst­elasticitet: Hvor følsom er efterspørgslen over for indkomstændringer? Negativ elasticitet (inferiær) vil øge chancen for modsat rettede effekter.

Slutsky-dekompositionen giver os altså et analytisk brillepar: Ét glas isolerer den rene pris­respons, det andet fanger indkomst­følsomheden. Sammen gør de det muligt at forstå og forudsige forbrugeradfærd, udforme skatte- og pris­politikker – og forklare de få, men berømte eksempler på Giffen-varer.

Grafisk forklaring med budgetlinje og indifferenskurver

Forestil dig et standard-diagram med to varer – vare X på den horisontale akse og vare Y på den vertikale. Hele pointen med Slutsky-dekompositionen er at dele forbrugerens reaktion på en prisændring op i to klart adskilte bevægelser, som begge kan aflæses i billedet.

1. Oprindelig ligevægt (punkt A)
   Budgetlinjen BL₀ har hældningen −P_X/P_Y og tangerer indifferenskurven U₀ i punkt A. Her køber forbrugeren X₀ enheder af vare X og Y₀ enheder af vare Y.
2. Prisændring på vare X
   Antag at prisen på vare X falder (P_X↓). Budgetlinjen drejer udad til BL₁ med mindre negativ hældning, fordi forbrugeren nu kan få mere X for samme indkomst. Hvis vi lod forbrugeren bevæge sig direkte til den nye linje, ville vi blande substitution og indkomsteffekt sammen – præcis det, Slutsky vil undgå.
3. Kompensation: den hypotetiske budgetlinje BL_C
   For at isolere substitutionseffekten flytter vi den nye budgetlinje parallelt indad, indtil den netop er tangent til den oprindelige indifferenskurve U₀. Den kompenserede linje BL_C giver forbrugeren præcis samme nytte som før, men med de nye relative priser. Tangentpunktet kaldes B.
   • Bevægelsen A → B langs U₀ er substitutionseffekten: Forbrugeren substituerer væk fra den relativt dyrere vare (Y) mod den nu relativt billigere vare (X). Tegnet er altid negativt for den vare, der bliver dyrere, og positivt for den, der bliver billigere.
4. Ukompenseret bevægelse til ny ligevægt (punkt C)
   Nu fjernes den kunstige indkomstkorrektion: Forbrugeren får sin faktiske indkomst igen og står over for den rigtige budgetlinje BL₁. Tangentpunktet med en højere indifferenskurve U₁ er C.
   • Bevægelsen B → C er indkomsteffekten: Købekraften er blevet større, så forbrugeren kan i princippet købe mere af begge varer. Retningen afhænger af varens indkomstkarakteristik:
   • Normal vare: X stiger yderligere (indkomsteffekt forstærker substitutionen).
   • Inferiør vare: X falder (indkomsteffekt går imod substitutionen).
   • Giffen-vare: Indkomsteffekten dominerer og trækker X under startniveauet.
5. Visual summary
   Resultatet kan skitseres som tre punkter i ét diagram:
   

   Punkt	Stadie	Budgetlinje
   A	Før prisændring	BL0
   B	Efter kompensation (samme nytte)	BLC
   C	Endelig forbrug (højere/lavere købekraft)	BL1

Ved at holde disse tre punkter adskilt – A → B for ren substitution og B → C for ren indkomst – får vi en grafisk, intuitiv adskillelse af de to kræfter, som tilsammen bestemmer den samlede ændring A → C i forbrugerens efterspørgsel.

Den algebraiske Slutsky-ligning og nøgleegenskaber

Slutsky-dekompositionen kan skrives elegant med få symboler, som binder de to centrale efterspørgsels­begreber sammen:

1. Ukompenseret (Marshalliansk) efterspørgsel:  q_i(p,M) – den mængde forbruger i vælger givet priser p og indkomst M.
2. Kompenseret (Hicks/Slutsky) efterspørgsel:  h_i(p,U) – den mængde der holder nytten U konstant, når priserne ændres.

Den algebraiske Slutsky-ligning forbinder de to:

∂q_i/∂p_j = ∂h_i/∂p_j − q_j · ∂q_i/∂M

• Første led (∂h_i/∂p_j) er substitutionseffekten: hvordan mængden reagerer, når priserne ændres og købekraften justeres, så den oprindelige nytteniveau bevares.
• Andet led (− q_j·∂q_i/∂M) er indkomsteffekten: den ekstra ændring der kommer af, at den reelle købekraft ændres.

Matrixform og centrale egenskaber

Sætter vi alt ind i matricer, får vi

D_pq = S − q·(D_Mq)^T

hvor S kaldes substitutionsmatricen med elementer S_ij=∂h_i/∂p_j. Denne matrix bærer flere vigtige strukturelle egenskaber:

Egenskab	Hvad betyder det?
Symmetri: Sij=Sji	Byt prisændring og vare rundt, og substitutionseffekten er den samme. Afleder sig fra eksistensen af en potentiel (udgiftsfunktion).
Negativ semidefinitet	For hver prisvektor a gælder aTS a ≤ 0. Kompenserede efterspørgsler kan derfor aldrig bryde de afledte lovmæssigheder om nedad­skrånende (kompenserede) efterspørgselskurver.
Adding-up: ΣiSij=0	En prisændring må flytte forbruget langs budgettet – ikke væk fra det (Walras’ lov).
Homogenitet af grad nul	Både q og h er uændrede, hvis priser og indkomst skaleres proportionalt.

Slutsky i elasticiteter: Et hurtig-genveje

Ofte arbejder praktikere med elasticiteter frem for marginaler. Indfør

• Ukompenseret priselasticitet: ε_ij^M = (p_j/q_i)·∂q_i/∂p_j
• Kompenseret priselasticitet: ε_ij^H = (p_j/q_i)·∂h_i/∂p_j
• Indkomstelasticitet: η_i = (M/q_i)·∂q_i/∂M
• Budgetandel: s_j = p_jq_j/M

Så fås en kompakt elasticitetsversion af Slutsky-ligningen:

ε_ij^M = ε_ij^H − η_i · s_j

Dermed kan man dekomponere enhver observeret (ukompenseret) prisfølsomhed i et rent substitutionsled og et budget/indkomstled – en nøgle til både teoretisk forståelse og empirisk måling af forbruger- og velfærdseffekter.

Hicks vs. Slutsky-kompensation: Hvad er forskellen?

Når vi skal isolere substitutionseffekten af en prisændring, har økonomer to klassiske måder at “kompensere” forbrugeren på: Hicks-kompensation og Slutsky-kompensation. De lyder næsten ens, men hviler på to forskellige målsætninger – og giver derfor også to (lidt) forskellige tal, når man regner på dem.

To definitioner på kompensation

1. Hicks-kompensation (nytte­konstant)
   Vi justerer indkomsten netop så meget, at forbrugeren bliver ligeså tilfreds som før prisændringen, dvs. ligger på den samme indifferenskurve. Den tilhørende efterspørgsel kaldes “kompenseret” eller “Hicksian demand”.
2. Slutsky-kompensation (købekraft­konstant)
   Vi giver forbrugeren en indkomstændring, så hun fortsat har råd til præcis det oprindelige varebundt. Dermed holdes den objective købekraft fast, uanset om hun faktisk ønsker at købe det samme bundt. Efterspørgslen kaldes her “kompenseret” i Slutsky-forstand.

Hvorfor er de (næsten) ens ved små ændringer?

• Ved marginale prisændringer ligger de to kompenserede budgetlinjer nær hinanden, og begge tangere den oprindelige indifferenskurve.
• Matematisk er forskellen mellem Hicks- og Slutsky-kompensation af 2. orden. Førsteordensleddet – substitutionseffekten – er identisk, så længe man kun ser på meget små bevægelser.
• I praksis betyder det, at de to begreber stort set giver samme estimat, når vi fx beregner efterspørgselselasticiteter på baggrund af < 5 % prisændringer.

Hvornår bliver forskellen empirisk vigtig?

Situation	Hvorfor adskiller kompensationerne sig?
Store prisstød (fx +50 % på energi)	Substitutionsmulighederne udnyttes, så nytten kan bevares billigere end prisen for det gamle bundt. Hicks-kompensationen er derfor lavere end Slutsky-kompensationen.
Varer med høj budgetandel (bolig, benzin)	Jo større del af indkomsten varen udgør, desto større nominelt spænd opstår mellem “samme nytte” og “samme bundt”.
Måling af leveomkostnings-indeks (CPI vs. true cost of living)	Et indeks baseret på det faste forbrugsbundt (Laspeyres) svarer til Slutsky-idéen, mens et true cost of living indeks sigter efter Hicks-idéen.
Velfærdsanalyse af skatter/subsidier	Equivalent Variation (HV – Hicks) og Compensating Variation (CV – Slutsky) kan adskille sig markant ved store indgreb.

Et lille numerisk eksempel

Antag, at forbrugeren i udgangspunktet køber 2 liter mælk (x) og 2 brød (y) til priserne p_x=10 og p_y=10. Budgettet er altså 40 kr.

Nu stiger mælkeprisen til 12 kr.

• Slutsky-kompensation: Det koster nu 2 × 12 + 2 × 10 = 44 kr. at købe det gamle bundt. Giv forbrugeren 4 kr. ekstra.
• Hicks-kompensation: Beregn den minimale udgift til at nå den samme nytte som med (2,2) givet de nye priser. Da forbrugeren kan substituere mod brød, skal hun måske kun bruge 43 kr. Forskel: 1 kr.

For et så beskedent prisstød er 1 kr. ud af 40 en afvigelse på 2,5 %. Men ved større prisstigninger – eller hvis mælk udgør 30 % af budgettet – kan forskellen blive både tocifret og politisk betydningsfuld.

Huskeregler

• Hicks: “Hold tilfredsheden fast” → subjektiv velfærd.
• Slutsky: “Hold indkøbskurven fast” → objektiv købekraft.
• Små ændringer: forskellen er negligerbar; store ændringer: mål efter hvad du vil analysere.

Eksempler fra praksis: Normale, inferiøre og Giffen-varer (og arbejdsudbud)

Når prisen på en normal vare falder, bevæger både substitutions- og indkomsteffekten efterspørgslen i samme retning – mod et højere forbrug af varen.

1. Substitutionseffekt: Den lavere relative pris gør varen billigere i forhold til andre goder. Forbrugeren substituerer derfor væk fra de dyrere alternativer.
2. Indkomsteffekt: Prisfaldet øger den reale købekraft. Da det er en normal vare, stiger forbruget, når realindkomsten stiger.

Resultatet er en tydelig stigning i den samlede (Marshall-) efterspørgsel. Det er netop denne logik der ligger bag den klassiske, nedadgående efterspørgselskurve.

---

2. Inferiør vare

For en inferiør vare – f.eks. billig pasta eller discountbus – reagerer forbrugeren anderledes på indkomsteffekten:

1. Substitutionseffekt (positiv): Prisfald → varen bliver relativt billigere → forbrugeren køber mere.
2. Indkomsteffekt (negativ): Prisfald → realindkomsten stiger → forbrugeren “har råd” til bedre alternativer og køber mindre af den inferiøre vare.

Hvis substitutionseffekten er stærkere end den (negative) indkomsteffekt, dominerer det normale mønster: efterspørgslen stiger stadig, men mindre end for en normal vare.

---

3. Giffen-vare: Når indkomsteffekten vender det hele på hovedet

En Giffen-vare er en ekstremt inferiør vare, hvor den negative indkomsteffekt er så kraftig, at den fuldstændig opvejer substitutionsgevinsten.

1. Substitution: Prisfald → mere køb (som normalt).
2. Indkomst: Prisfald → stor stigning i effektiv indkomst → markant fald i efterspørgslen, fordi forbrugeren skifter mod “finere” varer.

Det samlede udfald bliver modsat det sædvanlige: Et prisfald reducerer efterspørgslen, og efterspørgselskurven hælder opad.
Historiske kandidater er f.eks. kartofler i Irland før kartoffelblomsten eller ris blandt ekstremt fattige husholdninger i Hunan-provinsen, Kina.

Varetype	Substitutionseffekt	Indkomsteffekt	Samlet effekt på Q ved prisfald
Normal	+	+	+
Inferiør	+	−	Afhænger (typisk +)
Giffen	+	− − −	−

---

4. Arbejdsudbud: Løn som “pris” på fritid

Slutsky-logikken bruges ikke kun på varer, men også på tidsallokering. Betragt arbejde og fritid som to goder. Lønnen (w) er prisen på fritid: én times fritid koster dig w kroner i tabt indkomst.

1. Substitutionseffekt: En højere løn gør fritid dyrere → arbejdskraft substituerer fritid med arbejde → arbejdstimer stiger.
2. Indkomsteffekt: Den højere løn giver større realindkomst for hvert givent antal timer → forbrugeren har råd til mere fritid → arbejdstimer falder.

Hvis indkomsteffekten dominerer ved høje lønninger, kan arbejdsudbudskurven blive bueformet (den “bagudbøjede” arbejdskurve): Folk arbejder mere ved moderate lønstigninger, men mindre, når lønnen bliver meget høj.

Empirisk finder man ofte:

• Primære forsørgere (ofte mænd): Substitutionseffekten ≈ indkomsteffekten → lille nettoreaktion.
• Secondary earners (ofte kvinder): Substitutionseffekten dominerer → arbejdskraftudbuddet reagerer klart positivt på løn.

Dermed giver Slutsky-dekompositionen et præcist sprog til at adskille de to kræfter, når økonomer analyserer arbejdsmarkedsreformer, skatteændringer eller minimumslønninger.

Anvendelser og begrænsninger: Politik, markedsanalyse og empirisk estimering

Slutsky-dekompositionen er mere end et elegant stykke forbrugerteori; den er et praktisk værktøj for alle, der vil kvantificere, hvordan forbrugere og arbejdstagere reagerer på økonomisk politik og markedsændringer. Nedenfor gives et overblik over de vigtigste anvendelser – og de faldgruber man bør være opmærksom på.

1. Politikdesign og velfærdsvurdering

1. Skatter og afgifter: Ved at splitte effekten af f.eks. sukkerafgifter i en substitutionsdel (dyrere sodavand → forbrugere skifter til vand) og en indkomstdel (lavere realindkomst → generelt lavere forbrug) kan man
   • forudsige efterspørgselsfaldet mere præcist,
   • beregne deadweight loss ved at integrere den kompenserede (Hicks/Slutsky) efterspørgselskurve,
   • identificere hvilke husholdninger der bærer den største velfærdbyrde.
2. Subsidier og prisstøtte: I landbruget kan man fx simulere, hvordan et gødnings­tilskud ændrer inputvalg (substitution) kontra samlet produktion (indkomst).
3. Prislofter og prisregulering: Analysen afslører, om et loft på husleje primært flytter efterspørgsel mod andre boligtyper (substitution) eller reducerer totalboligkonsumet (indkomst).
4. Cost-of-living-indeks (COLI): Bureauer som Danmarks Statistik bruger Slutsky-relationer til at omregne prisændringer til kompensationskrav, så realindkomstmål ikke fordrejes af substitutionsmuligheder.

2. Markedsanalyse og forretningsstrategi

• Krydspris-elasticiteter: Ved at skønne den kompenserede (substitutions) matrix kan virksomheder identificere, hvilke produkter der er tættest substitutter, og hvor prisforskelle kan udnyttes.
• Segmentering: Slutsky-baserede estimater kan afsløre, om lavindkomstkunder reagerer stærkere gennem indkomsteffekten – nyttigt ved differentierede prissystemer.
• Forecasting under volatile priser: Ved at simulere separate effekter fås mere robuste prognoser, når både råvarepriser og købekraft svinger.

3. Empirisk estimering: Data- og modelkrav

Krav	Typiske udfordringer
Detaljeret pris- og mængdedata på husholdningsniveau	Manglende scanner-data, sort marked, prisdispertion
Variation i priser uafhængigt af indkomst	Endogen prisvariation, simultanitet
Antagelse om optimerende adfærd & stabile præferencer	Behavioral biases, præference­skift over tid
Fuld observérbar budgetrestriktion	Skjult eget forbrug, hjemmearbejde, skyggepriser

4. Identifikationsudfordringer

• Endogene priser: Markedspriser kan påvirkes af samme chok der ændrer efterspørgslen. Instrument­variabler eller naturlige eksperimenter (fx geografisk differentierede afgifter) er ofte påkrævet.
• Aggergering: Slutsky-relationen gælder på individniveau. Ved aggregation kan uobserveret heterogenitet skabe “falske” indkomsteffekter.
• Store prisændringer: Lineær approksimation holder kun lokalt. I praksis anvendes ofte “expenditure function” eller fleksible AIDS-modeller for at håndtere ikke-linearitet.

5. Heterogenitet og adfærdsantagelser

Empirien viser, at

• høj- vs. lavindkomst­grupper ofte har modsatrettede indkomsteffekter (tænk Giffen-lignende basisfødevarer),
• ungerespons kan overskygge ældregruppers respons, hvis data ikke stratificeres,
• begrænset rationalitet (mentale konti, status quo bias) kan bryde Slutsky-forudsigelserne, især på kort sigt.

6. Bottom line

Slutsky-dekompositionen giver et skarpt analytisk snit mellem prisincentiver og indkomstvirkninger. Den er uundværlig, når vi skal:

1. beregne hvem der vinder/taber på en ny skat,
2. justere KPI for substitutionsmuligheder,
3. forstå dynamikken bag efterspørgselskurver og arbejdsudbud.

Men præcisionen afhænger af datakvalitet, korrekte modelvalg og realistiske antagelser om forbrugeradfærd. Som for al økonomisk værktøj gælder: Brug det med omtanke – og test antagelserne.