Hvordan fungerer en Cournot-duopolmodel?

Hvorfor stopper to cementgiganter pludselig med at udvide produktionen, selvom efterspørgslen fortsat stiger? Hvorfor ender stålindustrien ofte med priser, der hverken ligner monopolpriser eller dem, vi ser under fuldkommen konkurrence? Svarene gemmer sig i én af industri­økonomiens allerstærkeste arbejdsheste: Cournot-duopolmodellen.

Modellen kan spores helt tilbage til 1838, men den er stadig kernen i alt fra moderne konkurrencepolitik til strategien bag multinationale fusioner. Den giver et overraskende enkelt - og samtidig dybt afslørende - billede af, hvordan virksomheder vælger mængder og dermed påvirker både priser, profit og velfærd.

I denne artikel tager vi dig med fra de grundlæggende antagelser til de mest raffinerede udvidelser. Undervejs viser vi, hvordan Cournot-tænkningen kaster lys over alt fra elmarkedet og telebranchen til global landbrugsproduktion. Du vil lære, hvordan virksomhedernes reaktionsfunktioner flettes sammen til en Nash-ligevægt, hvorfor karteller vakler, og hvornår en fusion kan betale sig - både for ejerne og for samfundet.

Sæt dig til rette og følg med, når vi trin for trin knækker koden til Cournot-duopolet - og afslører, hvorfor denne lille model er så afgørende for at forstå den kapitalistiske virkelighed.

Hvad er en Cournot-duopolmodel? Antagelser og intuition

Forestil dig et marked, hvor præcis to virksomheder - lad os kalde dem A og B - sælger et fuldstændigt homogent produkt som stål, hvede eller elektricitet. Begge vælger mængder (ikke priser) sam­tidigt; herefter fastsættes markeds­prisen af den samlede produktion Q = q_A + q_B via en efter­spørgsels­funktion, typisk skrevet som P(Q) = a − bQ. Jo mere de tilsammen pumper ud, desto lavere bliver prisen - og derfor må hver virksomhed i sit valg af q indregne, at modparten gør det samme. Denne strategiske gensidige afhængighed er kernen i Cournot-intuitionen: “Hvor meget skal jeg producere, givet hvad jeg forventer, du vil producere?”

Modellen bygger på nogle centrale antagelser: (1) Rationelle, profit­maksimerende aktører med perfekt information om efter­spørgslen; (2) kendte og konstante mar­ginal­omkostninger (ofte identiske for de to virksomheder); og (3) ingen mulighed for bindende aftaler - hver vælger ensidigt sin mængde. Løsningen er en Nash-ligevægt, hvor ingen af dem kan øge sin profit ved ensidigt at ændre q. Resultatet ligger midt imellem to velkendte poler: Samlet produktion og pris befinder sig mellem monopol­ets lave output/høje pris og fuldkommen konkurrences høje output/lave pris. Dermed opstår en vis markeds­magt og et dødvægtstab, men ikke nær så stort som under monopol, mens profitten for hvert firma stadig overstiger den i perfekt konkurrence, hvor den økonomiske profit presses mod nul.

Sådan virker den: Reaktionsfunktioner og Cournot-ligevægt

Vi starter med at opstille markedets inverse efterspørgsel som \(P(Q)=a-bQ\), hvor den samlede mængde er \(Q=q_1+q_2\). Antag, at begge virksomheder har konstante marginal- og gennemsnitsomkostninger \(MC=c\) (ingen faste omkostninger). Profitterne bliver derfor
\(\pi_1(q_1,q_2)=\bigl[a-b(q_1+q_2)-c\bigr]q_1,\quad\pi_2(q_1,q_2)=\bigl[a-b(q_1+q_2)-c\bigr]q_2\).
Hver virksomhed maksimerer sin profit ved at differentiere mht. egen mængde og sætte førsteordensbetingelsen (FOC) til nul: a − b(q_1+q_2) − c − bq_1=0 for firma 1 (symmetrisk for firma 2). Det giver os grundlaget for at udlede reaktionsfunktionerne.

Isolerer vi \(q_1\) fra FOC’en fås firma 1’s reaktionsfunktion: \(q_1=\frac{a-c}{2b}-\frac{q_2}{2}\). Tilsvarende har firma 2: \(q_2=\frac{a-c}{2b}-\frac{q_1}{2}\). Skæringspunktet mellem funktionerne giver Cournot-ligevægten:

• Ligevægtsmængder: \(q_1^{*}=q_2^{*}=\dfrac{a-c}{3b}\)
• Total mængde: \(Q^{*}=2\dfrac{a-c}{3b}\)
• Markedspris: \(P^{*}=a-bQ^{*}= \dfrac{a+2c}{3}\)
• Profit pr. firma: \(\pi^{*}= \dfrac{(a-c)^2}{9b}\)

Komparativ statik: En stigning i efterspørgselsparametret a skifter begge reaktionsfunktioner opad, så \(q_i^{*}\), \(Q^{*}\) og \(\pi^{*}\) vokser, mens prisen falder mindre end proportionalt. En højere hældningskoefficient b (fladere efterspørgsel) mindsker output og profit, fordi marginal omsætning falder hurtigere. Højere omkostninger c presser ligevægtmængder og profit ned samt løfter prisen. Formel: \(\partial q_i^{*}/\partial c = -1/3b\). Resultaterne er nyttige for reguleringsmyndigheder, der fx overvejer at pålægge CO₂-afgifter (c ↑) eller stimulere efterspørgsel (a ↑).

Modellen kan udvides med asymmetri (forskellige \(c_i\) eller kapacitetsbegrænsninger), hvilket skråtstiller reaktionsfunktionerne og flytter ligevægt tættere på den lave-omkostnings producents output. For et generelt Cournot-oligopol med N ens firmaer fås \(q_i^{*}=(a-c)/[b(N+1)]\), \(Q^{*}=N(a-c)/[b(N+1)]\) og \(P^{*}=a-bQ^{*}=(a+Nc)/(N+1)\). Når \(N\to\infty\), konvergerer prisen mod \(c\) og output mod fuldkommen konkurrences niveau - en elegant illustration af, hvordan markedsmagt udhules, når flere aktører kommer til.

Implikationer og variationer: Velfærd, politik og alternative modeller

Cournot-rammen giver et klart billede af velfærdskonsekvenserne af mængdebaseret konkurrence: Når to identiske virksomheder vælger output samtidigt, ender prisen mellem monopolsatsen og den marginale omkostning, hvilket skaber et dødvægtstab - men mindre end monopolens. Vi kan dekomponere den samlede samfundsøkonomiske værdi som

• Forbrugeroverskud (CS): arealet under efterspørgselskurven og over markedsprisen; større end under monopol, men mindre end ved fuldkommen konkurrence.
• Producentoverskud (PS): profitterne til de to virksomheder; lavere end monopolens, men de deles af to aktører.
• Dødvægtstab (DWT): trekanten mellem marginalomkostningskurven og efterspørgslen i området fra Cournot‐mængde til den fuldkomne konkurrence‐mængde.

Fusioner, kapacitetsvalg og regulering kan analyseres ved at lade de to reaktionsfunktioner “smelte sammen”. En horisontal fusion til et monopol øger profitterne, men kan give anledning til konkurrencemyndighedernes indgreb pga. større dødvægtstab. Hvis virksomhederne i stedet vælger kapacitet før selve Cournot‐spillet, opstår muligheden for at begrænse output strategisk - hvilket minder om Stackelberg-førerskab. Regulering kan ske via prisloft (der ofte skubber markedet tættere på Bertrand‐lignende priser), mængdekrav eller marginalomkostningsbaseret skat/subsidie. Karteller er notorisk ustabile i Cournot-modellen: hver deltager fristes til at øge sin mængde når de andre holder igen, medmindre der findes håndhævelsesmekanismer (gentagne spil, bøder eller brancheorganisationer).

Sammenlignet med andre klassikere i industriøkonomien ses klare forskelle:

• Bertrand (priskonkurrence): Ved identiske marginalomkostninger drives prisen ned til MC; velfærden matcher fuldkommen konkurrence, og dødvægtstabet forsvinder - et dramatisk kontrast til Cournot.
• Stackelberg: En leder vælger mængde først, efterfulgt af en følger, hvilket giver lederen større profit og højere samlet output end i Cournot, men lavere end Bertrand.
• Produktdifferentiering (Hotelling- eller Linear City-variationer) svækker den direkte mængdekrig; virksomhederne kan opretholde højere priser uden at miste hele efterspørgslen.
• Dynamiske udvidelser (gentagne Cournot-spil, justerbar kapacitet, learning by doing) kan skabe implicitte karteller eller priscykler, afhængigt af diskonteringsraten og overvågningsteknologi.

Cournot-tankegangen passer især til råvarebaserede markeder med begrænset prisdifferentiering - fx cement, stål, kunstgødning eller visse energiformer - hvor virksomhederne typisk annoncerer produktionsplaner før priserne formes i spotmarkeder. Begrænsninger tæller antagelsen om homogenitet, simultan beslutningstagning, fuld information og fravær af kapacitets‐/prisrigiditeter. I praksis kan logistikomkostninger, efterspørgselsusikkerhed og kontraktlig binding gøre, at observérbare markedsdata afviger fra den rene Cournot‐forudsigelse - hvorfor modellen bør anvendes som et benchmark snarere end en fuldgyldig beskrivelse af alle oligopoler.