Shephards lemma: anvendt på udgiftsfunktionen

Hvor meget ville du egentlig være villig til at betale for din morgenkaffe, hvis priserne på alle andre varer steg? Svaret ligger gemt i et af forbrugerteoriens mest elegante værktøjer: Shephards lemma. Lemmaet er nøglen, der låser døren op til den kompenserede, eller Hicksiske, efterspørgsel – hjørnestenen i alt fra Slutsky-dekomposition til præcise velfærds­målinger.

På Kapitalisme Online elsker vi at gå bag om tallene og afsløre de økonomiske mekanismer, der styrer vores hverdag. I denne artikel zoomer vi ind på udgiftsfunktionen E(p, u) og viser, hvordan Shephards lemma forvandler tør differentiering til actionable insight om forbrugernes adfærd.

Glæd dig til at:

• forstå, hvorfor udgiftsfunktionen er forbrugerens svar på virksomhedens omkostningsfunktion,
• se, hvordan én simpel afledt kan afsløre hele dit kompenserede indkøbskort,
• få konkrete eksempler fra både Cobb-Douglas og CES-universet,
• og opdage, hvornår lemmaet ikke virker – fra hjørneløsninger til hårde knæk i præferencerne.

Hvis du vil lære at skille pris- og indkomsteffekter ad som en kirurg og gøre velfærds­analyse til et præcist håndværk, så læs med. Shephards lemma er mere end matematik – det er din genvej til at forstå, hvad forbrugerne virkelig vil have, når spillets regler ændrer sig.

Hvad er Shephards lemma, og hvorfor er det vigtigt?

Shephards lemma er et af de elegante resultater, som binder forbrugerteoriens to sider – primalen (nyttemaksimering givet et budget) og dualen (udgiftsminimering givet et nytteniveau) – tæt sammen. Hvor det primale problem fører til den Marshall-ske efterspørgselsfunktion, viser den duale vej, hvordan man kan beregne den minimale udgift, der skal til for at opnå et bestemt nytteniveau. Her dukker udgiftsfunktionen E(p,u) op:

E(p,u) = den lavest mulige udgift, som giver nytteniveauet u, når varepriserne er p = (p₁, …, p_n).

Shephards lemma siger dernæst, at hvis udgiftsfunktionen er differentiabel i prisvektoren, så giver den partielle afledte netop den kompenserede (Hicksiske) efterspørgsel:

∂E(p,u) / ∂p_i = h_i(p,u)

Dermed oversætter lemmaet et pris-input til et mængde-output uden at vi behøver genløse hele forbrugerproblemet. Økonomisk betyder det:

1. Kompensation for prisændringer – h_i(p,u) viser, hvor meget af vare i forbrugeren ville købe, hvis hun hele tiden blev holdt på samme nytteniveau (ingen indkomst-/velfærdsændring).
2. Dekobling af indsigt – vi får rene substitutionsvirkninger, hvilket er afgørende, når man vil måle velfærdstap eller opstille prisindeks.
3. Dobbelt rolle – på producent-siden findes en parallel (omkostningsfunktionen), så Shephards lemma fungerer som en bro mellem forbruger- og producentteori i den overordnede dualitetsramme.

På Kapitalisme Online er Shephards lemma derfor et kernebegreb i vores Kapitalistiske Ordbog: det konkretiserer, hvordan en rationel forbruger omfordeler sit forbrug, når priserne ændrer sig, givet at vi “kompenserer” hende for at fastholde nytten. Uden lemmaet ville centrale værktøjer som Slutsky-dekompositionen, kompenserende/ækvivalent variation og substitutionsmatrixen mangle deres teoretiske fundament.

Udgiftsfunktionen E(p, u): definition, antagelser og nøgleegenskaber

Den udgiftsfunktion  E(p,u) er et centralt redskab i forbrugerteoriens duale verden. Hvor indirekte nytte v(p,m) fortæller, hvor meget nytte man kan få ud af en given indkomst, spørger udgiftsfunktionen omvendt:

E(p,u) = \min_{x \in \mathbb{R}^n_+} \; p\cdot x \quad \text{sådan at} \quad u(x)\;\ge\;u

Med andre ord: E(p,u) er de mindst mulige kroner, en forbruger skal bruge ved prisvektoren p for at opnå (mindst) nytteniveauet u. Løsningen til dette problem giver os den kompenserede eller Hicksiske efterspørgselsvektor h(p,u), som vi vender tilbage til i næste afsnit.

Antagelser for, at udgiftsfunktionen opfører sig pænt

1. Lokal ikke-mæthed (LNS): For enhver varekurv findes en tættere, der giver højere nytte. Dermed udtømmes alle penge.
2. Kontinuitet i præferencer: Små ændringer i kurven giver kun små spring i nytten. Sikrer, at minimerings­problemet har en løsning.
3. Konvekse præferencer: Forbrugeren foretrækker gennemsnit frem for ekstremer, så det optimale valg er unikt (eller ligger i et konveks sæt).

Nøgleegenskaber ved e(p,u)

Drejebogen for økonomisk dualitet

Udgiftsfunktionen er dual til den indirekte nytte:

• Primal (indkomstgivet): Max u(x) s.t. p·x ≤ m ⇒ v(p,m)
• Dual (nyttegivet): Min p·x s.t. u(x) ≥ u ⇒ E(p,u)

De to funktioner hænger tæt sammen gennem følgende identiteter:

1. v(p, E(p,u)) = u   (sæt udgiften ind i indirekte nytte → man ender på selvsamme nytte).
2. E(p, v(p,m)) = m   (spørger man i stedet: ”hvad koster den nytte, jeg faktisk fik for m?”, får man præcis m).

Dermed er udgiftsfunktionen ikke blot et teoretisk kuriosum; den er nøglen til at forbinde forbrugersidens ”hvad koster glæden?” med den mere velkendte ”hvor meget glæde får jeg for pengene?” – og det er netop fundamentet, når vi i de næste afsnit udleder Shephards lemma og anvender det på velstandsmål og politik­analyse.

Shephards lemma anvendt: fra udgift til Hicksisk efterspørgsel

Shephards lemma er det analytiske link mellem udgiftsfunktionen, E(p,u), og den kompenserede – også kaldet Hicksiske – efterspørgselsfunktion, h(p,u). Formelt siger lemmaet, at

h_i(p,u) = ∂E(p,u) / ∂p_i.

Det vil sige: Differentierer vi den minimale udgift med hensyn til én pris, får vi den mængde af gode i, som forbrugeren – givet at nytten holdes konstant på niveauet u – ville vælge, hvis priserne var p. Resultatet er en arbejds­hest i moderne forbrugerteori, fordi det muliggør hurtig overgang mellem pris-, nytte- og mængde­rum uden at skulle løse optimeringsproblemet eksplicit hver gang.

Intuition gennem envelope-sætningen

Envelope-sætningen siger, at når vi har løst et minimalt udgiftsproblem

min _x∈X p·x  s.t.  u(x) ≥ u,

er den marginale effekt af en lille prisændring blot den marginale værdi af den restriktion, der allerede er optimeret. Forestil dig, at prisen på gode i stiger en anelse. Forbrugeren holder fast i sin oprindelige, omkostnings­minimerende kurv x*, fordi han endnu ikke har “nået” at tilpasse sig. Den ekstra udgift er præcis x*_i gange prisændringen. I grænsen (uendelig lille ændring) får vi den partielle afledte, som er x*_i = h_i(p,u).

Nødvendige antagelser

1. Differentiabilitet: Udgiftsfunktionen skal være differentiabel i priserne i det punkt, vi analyserer. Uden dette kan vi erstatte derivatet med et subgradient-sæt, men lemmaet bliver da en relation mellem subgradienter og efterspørgslen.
2. Indre løsning: Den omkostnings­minimerende kurv må ikke ligge på randen af vare-simplekset (dvs. ingen hjørneløsninger). Ellers kan små prisændringer ikke oversættes ét-til-ét til ændringer i udgifter.
3. Velopført udgiftsproblem: Præferencer antages kontinuerte, strengt monotone og konvekse, så løsningen er unik og E(p,u) er veldefineret, homogen af grad 1 i priser, konkav i priser og stigende i u.

Økonomisk tolkning

Shephards lemma har tre centrale konsekvenser:

• Vi kan beregne Hicksisk efterspørgsel uden at løse Lagrange-problemet direkte – blot ved at differentiere en eksplicit udgiftsfunktion.
• Det danner fundamentet for Slutsky-dekompositionen: Substitutionsleddet er baseret på de kompenserede efterspørgsler, som altså findes via lemmaet.
• Det giver et kort til velfærdsmål: Når vi kender E(p,u), kan vi integrere Hicksisk efterspørgsel over priser og opnå mål som kompenserende eller ækvivalent variation.

I praksis betyder det, at så snart vi har udledt en pæn, lukkket form for udgiftsfunktionen – for eksempel for Cobb-Douglas (E(p,u) = k·u·Πp_i^α_i) – er vejen til de kompenserede efterspørgsler og derfra til en lang række politiske og velfærdsmæssige analyser blot én differentiering væk. Shephards lemma er således det teoretiske gearshift, der konverterer udgiftsinformation til faktisk adfærd.

Anvendelser: velfærd, Slutsky-dekomposition og eksempler

1. Fra udgiftsfunktion til kompenseret (hicksisk) efterspørgsel

Shephards lemma giver den direkte genvej fra udgiftsfunktionen E(p,u) til de kompenserede efterspørgsler:

\[h_i(p,u)=\frac{\partial E(p,u)}{\partial p_i}, \qquad i=1,\dots ,n\]

Intuitionen er enkel: Når nytten u holdes konstant, viser stigningstakten i de minimale udgifter med hensyn til en pris p_i, hvor meget af godet der skal købes – præcis den Hicksiske mængde. Dermed har vi et rent differ­entialt og elegant alternativ til at løse hele udgiftsminimeringsproblemet eksplicit hver gang.

2. Slutsky-substitutionsmatrixen via lemmaet

Den (kompenserede) Slutsky-matrix S har elementerS_ij = ∂h_i/∂p_j. Med Shephards lemma skrives den som en (kryds-)Hessian af udgiftsfunktionen:

\[S_{ij}(p,u)=\frac{\partial^2 E(p,u)}{\partial p_i\partial p_j}.\]

• Symmetrisk: Ved tilstrækkelig differentiabilitet er S_ij=S_ji.
• Negativ semidefinit: Afledt af udgiftsfunktionens konkavitet i priser – økonomisk betyder det “love of diminishing marginal substitution”.

3. Velfærdsmål gjort nemme

Med E(p,u) beregnes klassiske velfærdsstørrelser blot som forskelle i udgifter:

4. Korte regneeksempler

4.1 cobb-douglas (to goder)

Antag nytte u(x)=x₁^αx₂^1−α, 0<α<1.

1. Udgiftsfunktion (standardresultat): \[ E(p,u)=\frac{u\,p_1^{α}p_2^{1-α}}{α^{α}(1-α)^{1-α}}. \]
2. Hicksiske efterspørgsler via lemmaet:
   h₁(p,u)=∂E/∂p₁=α\,\frac{E(p,u)}{p_1}=α\,\frac{u\,p_1^{α-1}p_2^{1-α}}{α^{α}(1-α)^{1-α}}.
   h₂(p,u)= (1−α)\,E/p₂.
3. Slutsky-matrix:
   S₁₁=∂h₁/∂p₁=−α(1−α)E/p₁²  (<0)
   S₁₂=S₂₁=α(1−α)E/(p₁p₂) (>0)
   S₂₂=−α(1−α)E/p₂².
4. Velfærd – lad p₁ stige 10 %. CV = E(1.1p₁,p₂,u⁰) − E(p₁,p₂,u⁰). Sæt tal og udregn direkte.

4.2 ces (elasticitet σ)

Nytte: u(x)=\big[δx₁^ρ + (1−δ)x₂^ρ\big]^{1/ρ}, ρ≤1, ρ≠0. Elasticitet σ = 1/(1−ρ).

1. Udgiftsfunktion (dual af CES): \[ E(p,u)=u \left[δ^{σ}p_1^{1-σ} + (1-δ)^{σ}p_2^{1-σ}\right]^{\frac{1}{1-σ}}. \]
2. Hicksisk efterspørgsel for gode 1: \[ h_1(p,u)=\frac{\partial E}{\partial p_1}=u \left[δ^{σ}p_1^{1-σ}+(1-δ)^{σ}p_2^{1-σ}\right]^{\frac{σ}{1-σ}} δ^{σ}p_1^{-σ}. \] Udtryk for h₂ fås analogt med δ→1−δ.
3. Substitutionsmatrix følger ved endnu en afledning – symmetri og negativ semidefinitet kommer automatisk pga. Es konkavitet.
4. EV/CV: Forestil dig, at begge priser falder med 5 %. Beregn E(p⁰,u⁰) og E(0.95p⁰,u⁰) for CV. Det kræver blot talindsættelse i ovenstående lukkede form.

Eksemplerne illustrerer, hvor gnidningsfrit Shephards lemma binder matematikken til praktiske beregninger i velfærdsanalyse, prisindeks og substitutionseffekter – uundværligt værktøj i ethvert kapitalistisk analysearsenal.

Begrænsninger, randtilfælde og relaterede identiteter

Shephards lemma hviler på kravet om indifferentiable, indre løsninger til forbrugerens udgiftsminimeringsproblem. Når disse antagelser svigter, må økonomen ty til generelle optimeringsværktøjer eller alternative identiteter.

1. Hjørneløsninger
   Opstår, når et gode optimalt sættes til nul (fx pga. høje priser eller præferencer med perfekte substitutter). Ved hjørner er udgiftsfunktionen ofte stykvis differentiabel; den partielle afledte er således ikke veldefineret i hele prisrummet. Praktisk håndtering:
   • Brug ensidige afledte eller subgradienter for at bestemme et interval af kompenserede efterspørgsler.
   • Alternativt specificér en blandet diskret-kontinuert model, hvor godet først købes efter et prisfald under et bestemt tærskelniveau.
2. Kinks og knæk – Leontief-præferencer
   Perfekte komplementer har en udgiftsfunktion med knæk: E(p,u)=u·(p₁+p₂). Ved knæk svarer gradienten til et helt sæt af mulige kombinationer. Løsningen er igen at arbejde med subgradienter: alle vektorer der understøtter funktionen i knækpunktet er gyldige Hicks-efterspørgsler.
3. Ikke-differentierbarhed generelt
   Udgiftsfunktionen kan være konkav, men ikke glat. I sådanne tilfælde defineres Shephards lemma som h(p,u) ∈ ∂_pE(p,u), hvor ∂ betegner subdifferentialet. Metoden sikrer fortsat entydighed, når funktionen uden videre har en entydig støtteplan (tænk Cobb-Douglas), men giver et interval, når støtteplanen ikke er unik.
4. Diskrete goder
   Ved integer-restriktioner er den klassiske dualitet problematisk: udgiftsfunktioner defineres som minimum af en diskret mængde punkter og bliver dermed ikke-konvekse. Den kompenserede efterspørgsel kan her udledes med dynamisk optimering eller lattice-teori, men er sjældent glat nok til at differentieres.
5. Ikke-konvekse præferencer
   Flertydige, “hullerne” i preferencemængden medfører, at udgiftsfunktionen ikke længere er konkav. En løsning er at konvekshylstre præferencerne (randomiseret efterspørgsel), men ellers må lemmaet opgives.

Shephard vs. Roy, integrabilitet og producentanalogi

Roy’s identitet er den utility-side pendant til Shephard: hvor Shephard går fra udgift til kompenseret efterspørgsel, går Roy fra indirekte nytte til utkompenseret (Marshallsk) efterspørgsel. Integrabilitet forbinder begge ved at spørge, om observeret adfærd kan rationaliseres af både en E- og en V-funktion. Endelig afspejler producentens omkostningsfunktion fuldstændigt forbrugerens udgiftsfunktion – og producent-Shephard giver conditional factor demands på samme måde som den oprindelige lemma giver Hicks-mængder.

Opsummeret: Shephards lemma er et kraftfuldt værktøj, men kun så længe pris-nytte-landskabet er glat og velopført. Når virkeligheden byder på hjørner, knæk eller diskrete trin, skal økonomen bevæge sig op i værktøjskassen – fra subgradienter til avanceret efterspørgselsteori – og altid have Roy, integrabilitet og producentanalogen med som teoretiske pejlemærker.